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泰勒公式与函数展开的操作方法_教育频道_东方资讯

发布日期:2020-07-23 05:15   来源:未知   阅读:

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说在前面的话

传说早在亚里士多德时代(相当于我国的战国),就有人在探寻将一般函数展开成简单多项式的方法,但因为条件所限,一直未能成功。不过在漫长的历史长河中,在具体数值求解方面仍有很多经典实例让后世的我们眼前一亮,比如古人制定十二平均律规范了音律。另外,通过割圆术计算圆周率更可以认为是近似计算的经典范例。古人在长期观测中注意到天体运行轨道速率与加速度变化产生的视运动变化,在天文历算(主要是编订历法)过程中引入了内插法。东汉时,刘洪编订《乾象历》引入一次内插。隋朝刘焯编订《皇极历》引入二次内插。唐代僧一行(俗名张遂)编订《大衍历》时,修正了刘焯的方法。元代郭守敬、王恂在编订《授时历》过程中引入了三次内插,辅以差分表计算,并将此法命名为“招差”(南宋秦九韶称之为“招法”),即“招差术”之由来。元朝的朱世杰在《四元玉鉴》中,讨论了更一般情况下的“招差法”。

从《九章算术》盈不足术的直线内插法历经东汉刘洪、隋刘焯、唐一行与徐昂, 到元郭守敬与朱世杰的四次招差术, 实质上已到达了牛顿的一般插值公式,此时实际上距离泰勒展开式已只一步之遥。

300多年后的1712年(相当于中国清朝康熙51年),传说牛顿的门生英国人泰勒(Brook.Taylor),找到了一个方法,成功将函数展开为多项式。下面,我们探讨从微积分基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)出发,通过运用分部积分法把函数展开。因为是科普文所以这里不做严格的推导、论证,且遣词用句可能有乡间哩语。鉴于此文俗不可耐的文风,可能须要您在摇头叹息中才能读完全文。但还是希望既使您已完全忘了微积分的内容也可从这篇科普文里有所收获!

02

函数的展开式

根据微积分基本公式:

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